Algèbre linéaire Exemples

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (1 + \frac{12 x}{25}) + 2$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log ({(2 x + 2)}^{2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

${(2 x + 2)}^{2} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{{(2 x + 2)}^{2}} > \sqrt{0}$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| 2 x + 2 | > \sqrt{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$| 2 x + 2 | > \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| 2 x + 2 | > | 0 |$

Étape 2.2.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$| 2 x + 2 | > 0$

Étape 2.3

Écrivez $| 2 x + 2 | > 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$2 x + 2 \geq 0$

Étape 2.3.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x \geq - 2$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x \geq - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x \geq - 1$

Étape 2.3.3

Dans la partie où $2 x + 2$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$2 x + 2 > 0$

Étape 2.3.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$2 x + 2 < 0$

Étape 2.3.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.3.5.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x < - 2$

Étape 2.3.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x < - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x < - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.5.2.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x < - 1$

Étape 2.3.6

Dans la partie où $2 x + 2$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (2 x + 2) > 0$

Étape 2.3.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - (2 x + 2) > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Étape 2.3.8

Simplifiez $- (2 x + 2) > 0$ .

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Étape 2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - (2 x) - 1 \cdot 2 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Étape 2.3.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - 2 x - 1 \cdot 2 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - 2 x - 2 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Étape 2.4

Résolvez $2 x + 2 > 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x > - 2$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x > - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x > - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 2}{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 2}{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 2}{2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x > - 1$

Étape 2.5

Résolvez $- 2 x - 2 > 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x > 2$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x > 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x > 2$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{2}{- 2}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{2}{- 2}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{2}{- 2}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez $2$ par $- 2$ .

$x < - 1$

Étape 2.6

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 1$ ou $x > - 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1}$

Étape 4